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% toc, too ugly!!!   2015/12/12  by hongxing xia (xiahongxing@gmail.com)


\usepackage{chronology}

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%   PRESENTATION INFORMATION
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\title{概率论复习课}
\subtitle{$\\$}
%\date{\small{\jobname}}
%\date{\today}

\author{\textbf{何亮}}
\institute{\small{lbgnmic@gmail.com}}

\date{\today}

%\institute{ 西安电子科技大学 }

\hypersetup{
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}

\begin{document}

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%   TITLE PAGE
%
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\maketitle

%\begin{frame}[plain]
%   \titlepage
%\end{frame}

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%   TABLE OF CONTENTS: OVERVIEW
%
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\begin{frame}{目录}
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\begin{columns}
    \begin{column}{.3\textwidth}
        \tableofcontents[hideallsubsections]
    \end{column}

    \begin{column}{.6\textwidth}
        \begin{figure}[H]
            \centering
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        \end{figure}
    \end{column}
\end{columns}
\end{frame}

\section{概率基础}

\begin{frame}{概率基础}
    \begin{block}{知识点}
        \begin{itemize}
            \item
                $\boldsymbol{\sigma}$代数
                \begin{itemize}
                    \item $\varnothing \in \mathscr{B}$;
                    \item 若$A\in \mathscr{B}$, 则$A^C \in \mathcal{B}$;
                    \item 若$A_i\in \mathscr{B}$, 则$\bigcup\limits_{i=1}^\infty
                    A_i\in \mathscr{B}$.
                \end{itemize}

        \item 概率公理化定义(Kolmogorov公理)
            \begin{itemize}
            \item
                (非负)对任意$A\in\mathcal B, \mathbf{P}(A)\geqslant 0$;

            \item
                (正则)$P(\Omega) = 1$;

            \item
                (可列可加)若$A_1, \cdots, \in \mathcal{B}$两两不交, 则
                $\mathbf{P}(\bigcup\limits_{i=1}^\infty A_i)
                = \sum\limits_{i=1}^\infty \mathbf{P}(A_i)$.
            \end{itemize}
        \item
            de Morgan律: $\overline{\bigcup A_i} = \bigcap \overline{A_i},
            \overline{\bigcap A_i} = \bigcup \overline{A_i}$.
        \end{itemize}
    \end{block}
\end{frame}

\begin{frame}{概率基础}
    \vspace{-1em}
    \begin{exampleblock}{例题}
        \begin{enumerate}
            \item
                小概率事件必然发生(P29)

            \item
                放回无序样本.\\
                $M$个不可辨质点随机放入$n$个盒子中的放法总数为$\binom{M+n-1}{M}$.

            \item
                容斥原理:
                $\mathbf{P}(A\cup B) = \mathbf{P}(A)+\mathbf{P}(B)-
                \mathbf{P}(A\cap B)$.\\
                从$1\sim 9$中可重复地任取$n$次, 求所取的数字的乘积能被$10$
                整除的概率.

            \item
                Bonferroni不等式: $\displaystyle \mathbf{P}(\bigcap_{i=1}^nA_i)
                \geqslant \sum_{i=1}^n \mathbf{P}(A_i)-(n-1)$.
        \end{enumerate}
    \end{exampleblock}
\end{frame}

\section{随机变量}

\begin{frame}{随机变量}
    \begin{block}{知识点}
        \begin{itemize}
            \item
                二项分布的泊松近似

            \item
                \alert{失效率函数}

            \item
                随机变量函数的分布的求法

            \item
                两个重要的变换: 设$X\sim f_X(x)$, 则$F_X(x)\sim U(0,1),
                -\log X\sim \mathrm{Exp}(1)$. ($F\uparrow$)

            \item
                最大、最小值分布
        \end{itemize}
    \end{block}
\end{frame}

\begin{frame}{随机变量}
    \begin{exampleblock}{泊松近似}
        \textbf{例2.9} \quad 设一女工照管$800$个纱锭,
        每一纱锭单位时间内纱线被扯断的概率为$0.005$,
        试求最可能扯断次数及概率,
        以及单位时间内扯断次数不大于$10$的概率.
    \end{exampleblock}

    \begin{exampleblock}{失效率函数}
        已知失效率函数$\lambda(x)$, 推导出$F(x)$.
    \end{exampleblock}

    \begin{exampleblock}{对数正态分布}
        设$X\sim N(\mu,\sigma^2)$, 求$Y=e^X$的分布、期望、方差.
    \end{exampleblock}
\end{frame}

\begin{frame}{随机变量}
    \begin{block}{伽玛分布}
        \begin{itemize}
            \item
                $\Gamma$函数: $\displaystyle \Gamma(\alpha)=\int_0^{+\infty}
                e^{-x}x^{\alpha-1}\dd x$.

            \item
                密度函数: $\displaystyle f_\Gamma(x)=\frac{\lambda^\alpha}
                {\Gamma(\alpha)}x^{\alpha-1}e^{\lambda x}, x\geqslant 0$.

            \item
                $\Gamma(1,\lambda)=\mathrm{Exp}(\lambda), \Gamma(n/2,1/2)
                =\chi^2(n)$.
        \end{itemize}
    \end{block}

    \begin{exampleblock}{$\mathbf{F}$分布分位数}
        $F(m,n)$与$F(n,m)$的上分位数关系: $\displaystyle
        F_{1-\alpha}(m,n) = \frac{1}{F_\alpha(n,m)}$.
    \end{exampleblock}
\end{frame}

\section{数字特征}

\begin{frame}{数字特征}
    \begin{block}{知识点}
    \begin{itemize}
        \item
            期望、方差、协方差

        \item
            $k$阶矩

        \item
            各种不等式

        \item
            矩母函数、特征函数
    \end{itemize}
    \end{block}
\end{frame}

\begin{frame}{数字特征}
    \begin{exampleblock}{$\mathbf{k}$阶矩}
        零均值正态、对数正态的$k$阶矩、二项分布的阶乘矩
    \end{exampleblock}

    \begin{block}{不等式}
        \begin{itemize}
            \item[$\bigstar$]
                \textbf{切比雪夫不等式} \quad $\displaystyle \mathbf{P}
                (|X- \mathbf{E}(X)|\geqslant \varepsilon)
                \leqslant \frac{\mathbf{D}(X)}{\varepsilon^2}$.

            \item
                \textbf{马尔可夫不等式} \quad $\displaystyle
                \mathbf{P}(g(X)\geqslant r)\leqslant
                \frac{\mathbf{E}g(X)}{r}, r>0, g\geqslant 0$.

            \item
                \textbf{马尔可夫r阶矩不等式} \quad
                $\displaystyle \mathbf{P}(|X|\geqslant \varepsilon)
                \leqslant \frac{\mathbf{E}|X|^r}{\varepsilon^r}$.

            \item
                \textbf{柯西-施瓦兹不等式} \quad
                $\displaystyle \mathbf{E}^2(XY)\leqslant \mathbf{E}(X^2)
                \mathbf{E}(Y^2)$.
        \end{itemize}
    \end{block}
\end{frame}

\begin{frame}{数字特征}
    \vspace{-1.5em}
    {\zihao{-5}
    \begin{exampleblock}{矩母、特征函数}
        \begin{itemize}
            \item
                证明泊松定理.(二项分布的泊松近似)

            \item
                *证明辛钦大数定律、林德伯格-莱维中心极限定理.
        \end{itemize}
    \end{exampleblock}

    \begin{exampleblock}{关于期望的两道题}
        \begin{itemize}
            \item
                $X$为仅取非负整数的离散随机变量, 若其数学期望存在,
                证明:
                \[
                    \mathbf{E}(X)=\sum_{k=1}^\infty \mathbf{P}(X\geqslant k)
                \]

            \item
                若连续随机变量$X$的期望存在, 证明:
                \[
                    \mathbf{E}(X) = \int_0^{+\infty} (1-F(x))\dd x
                    - \int_{-\infty}^0 F(x) \dd x.
                \]
        \end{itemize}
    \end{exampleblock}
    }
\end{frame}

\section{极限定理}

\begin{frame}{极限定理}
    \begin{block}{收敛}
    {\zihao{-5}
        \begin{itemize}
            \item
                \textbf{依概率收敛} \quad $\displaystyle \lim_{n\to\infty}\mathbf{P}
                (|X_n-X|)\geqslant \varepsilon)=0 \Leftrightarrow X_n\xrightarrow{P}X$.

                应用 -- 弱大数定律

            \item
                \textbf{a.s.收敛} \quad $\displaystyle \mathbf{P}(\lim_{n\to\infty}
                |\overline X_n - X| < \varepsilon) = 1
                \Leftrightarrow X_n\xrightarrow{a.s.} X$.

                应用 -- 强大数定律(与弱大数定律类似)

            \item
                \textbf{依分布收敛} \quad 对$F_X(x)$的任意连续点$x$, 都有
                \[
                    \lim_{n\to\infty} F_{X_n}(x) = F_X(x) \Leftrightarrow X_n
                    \xrightarrow{d} X
                \]
                应用 -- 中心极限定理

            \item
                \textbf{r-阶矩收敛} \quad $\displaystyle \lim_{n\to+\infty}
                \mathbf{E}(|X_n-X|^r)=0\Leftrightarrow X_n \xrightarrow{r}X$.
        \end{itemize}
    }
    \end{block}
\end{frame}

\begin{frame}{极限定理}
    \begin{block}{弱大数定律$\displaystyle \quad
    \overline{X_n}\xrightarrow{P} \mathbf{E}(\overline{X_n})$}
    {\zihao{-5}
        \begin{itemize}
        \item
            \textbf{伯努利大数定律} \quad $\{X_n\}$为iid的随机变量序列,
            $\mathbf{P}(X_n=1)=p, \mathbf{P}(X_n=0)=1-p$,
            则$\overline{X_n}\xrightarrow{P}p$.

        \item
            \textbf{泊松大数定律} \quad $\{X_n\}$相互独立,
            $\mathbf{P}(X_n=1)=p_n, \mathbf{P}(X_n=0)=1-p_n$,
            则$\displaystyle \overline{X_n}\xrightarrow{P} \frac 1n
            \sum_{i=1}^n p_i$. (概率与每个变量相关)

        \item
            \textbf{马尔可夫大数定律} \quad 若$\displaystyle
            \mathbf{E}\Big(\sum_{i=1}^n X_i\Big)<+\infty, \lim_{n\to\infty}
            \mathbf{D}(\overline{X_n})=0$, 则
            $\overline{X_n}\xrightarrow{P} \mathbf{E}(\overline{X_n})$.

        \item
            \textbf{切比雪夫大数定律} \quad $\{X_n\}$两两不相关,
            $\displaystyle \mathbf{D}(X_n)\leqslant C$, 则
            $\overline{X_n}\xrightarrow{P} \mathbf{E}(\overline{X_n})$.

        \item
            \textbf{辛钦大数定律} \quad $\{X_n\}$为iid的随机变量,
            若$\mathbf{E}(X_i)$存在, 则
            $\overline{X_n}\xrightarrow{P} \mathbf{E}(\overline{X_n})$.
        \end{itemize}
    }
    \end{block}
\end{frame}

\begin{frame}{极限定理}
    \begin{exampleblock}{例题}
        \begin{enumerate}
            \item
                设$\{X_k\}$为独立随机变量序列,
                且
                \[
                    \mathbf{P}(X_k=\pm 2^k)=\frac{1}{2^{2k+1}},
                    \mathbf{P}(X_k=0)=1- \frac{1}{2^{2k}}, k=1,2,\cdots
                \]
                证明$\{X_k\}$服从大数定律.

            \item
                设$\{X_n\}$为独立同分布的随机变量序列,
                其共同分布为
                \[
                    \mathbf{P}(X_n=\frac{2^k}{k^2}) =\frac{1}{2^k}, k=1,2,\cdots
                \]
                $\{X_n\}$是否服从大数定律?
        \end{enumerate}
    \end{exampleblock}
\end{frame}

\begin{frame}{极限定理}
    \vspace{-1.5em}
    \begin{block}{中心极限定理 -- 随机变量和的标准化服从标准正态}
    {\zihao{-5}
        \begin{itemize}
            \item
                \textbf{林德伯格-莱维中心极限定理}\\
                设$\{X_n\}$为iid的随机变量序列, 期望、方差存在且有限, 则
                \[
                    \frac{\displaystyle \sum_{i=1}^n X_i
                    - \mathbf{E}(\sum_{i=1}^n X_i)}{\displaystyle
                    \sqrt{\mathbf{D}(\sum_{i=1}^n X_i)}}
                    \xrightarrow{d}N(0,1)
                    \quad \mbox{或} \quad
                    \frac{\sqrt n(\overline {X_n}-\mu)}{\sigma}
                    \xrightarrow{d}N(0,1).
                \]

            \item
                \textbf{棣莫夫-拉普拉斯中心极限定理}\\
                上述定理的特殊情况, 或认为是二项分布的正态近似:
                $Y_n\sim b(n,p)$, 则
                \[
                    \frac{Y_n-np}{\sqrt{np(1-p)}}\xrightarrow{d}N(0,1).
                \]
        \end{itemize}
    }
    \end{block}
\end{frame}

\begin{frame}{极限定理}
    \vspace{-1.5em}
    \begin{exampleblock}{例题}
        {\zihao{-5}
        \begin{enumerate}
            \item
                某种福利彩票的奖金额$X$由摇奖决定, 其分布列为:
                \begin{table}[htbp]
                \begin{tabular}{lcccccccl}
                \toprule
                $X$(万元) & $5$ & $10$ & $20$ & $30$ & $40$ & $50$ & $100$\\
                \midrule
                $P$ & $0.2$ & $0.2$ & $0.2$ & $0.1$ & $0.1$ & $0.1$ & $0.1$\\
                \bottomrule
                \end{tabular}
                \end{table}
                若一年中要开出$300$个奖, 需要多少奖金总额,
                才有$95\%$的把握能够发放奖金.

            \item
                一家有$500$间客房的大旅馆的每间客房装有一台$2$千瓦的空调机.
                若开房率为$80\%$, 需要多少千瓦的电力才能有$99\%$
                的可能性保证有足够的电力使用空调机?

            \item
                独立重复地对某个物体的长度$a$进行$n$次测量,
                设每次测量结果$X_i$服从正态分布$N(a,0.2^2)$. 至少需要多少次测量,
                才能保证有$95\%$的把握使平均值与实际值$a$的差异小于$0.1$?
        \end{enumerate}
        }
    \end{exampleblock}
\end{frame}

\section{补充习题}

\begin{frame}{补充习题}
    \vspace{-1em}
    \begin{exampleblock}{习题}
    {\zihao{6}
        \begin{enumerate}
            \item
                设随机变量$X$的概率密度函数为
                $p(x) = \begin{cases}
                \dfrac 12 \cos \dfrac x2, & 0\leqslant x\leqslant \pi,\\
                0, & \mbox{其他.}
                \end{cases}$, 对$X$独立重复观察$4$次,
                $Y$表示观察值大于$\pi/3$的次数, 求$Y^2$的数学期望. ($5$)

            \item
                设$g(x)$为随机变量$X$取值的集合上的非负不减函数, 且
                $\mathbf{E}g(X)$存在, 证明: 对$\forall \varepsilon>0$,
                有$\displaystyle \mathbf{P}(X>\varepsilon)\leqslant
                \frac{\mathbf{E}g(X)}{g(\varepsilon)}$. (``两次放大'')

            \item
                随机变量$X\sim N(0,1)$, 求$Y=2X^2+1$的密度函数.
                ($(2 \sqrt{\pi(y-1)})^{-1}\exp\{(1-y)/4\}, y>1$)

            \item
                设$X$与$Y$的联合密度函数为
                $p(x,y)=\begin{cases}
                    3x, & 0<x<1, 0<y<x,\\
                    0,& \mbox{其他.}
                \end{cases}$, 求$Z=X-Y$的密度函数. ($3(1-z^2)/2, 0<z<1$)

            \item
                设随机变量$X$与$Y$独立同分布, 其密度函数为
                $p(x)=\begin{cases}
                    e^{-x}, & x>0,\\
                    0, & x\leqslant 0
                \end{cases}$, 试问$U=X+Y$与$V=X/(X+Y)$独立吗? ($p(u,v)=ue^{-u}$)

        \end{enumerate}
    }
    \end{exampleblock}
\end{frame}

\begin{frame}{补充习题}
    \vspace{-1em}
    \begin{exampleblock}{习题}
    {\zihao{6}
        \begin{enumerate}
            \setcounter{enumi}{5}
            \item
                若$X,Y$独立同分布于$N(0,1)$. 求$\mathbf{E}(\max\{X,Y\})$.
                ($1/\sqrt\pi$)

            \item
                设$(X,Y)$服从二维正态分布$N(0,0,1,1,\rho)$.
                证明$X-Y$与$XY$不相关.

            \item
                设$(X,Y)$的联合密度函数为
                $p(x,y)=\begin{cases}
                    3x, & 0<y<x<1,\\
                    0, & \mbox{其他}
                \end{cases}$, 求$\mathrm{Cov}(X,Y)$. ($3/160$)

            \item
                设随机变量序列$X_n$服从柯西分布: $\displaystyle p_n(x)
                = \frac{n}{\pi(1+n^2x^2)}, x\in\mathbf R$, 证明:
                $X_n\xrightarrow{P}0$.

            \item
                设随机变量序列$\{X_n\}$独立同分布, 密度函数为
                $p(x)=\begin{cases}
                    e^{-(x - \alpha)}, & x\geqslant \alpha\\
                    0, & x<\alpha.
                \end{cases}$, 证明: $\min\{X_1,\cdots, X_n\}
                \xrightarrow{P}\alpha$.
        \end{enumerate}
    }
    \end{exampleblock}
\end{frame}

\begin{frame}[plain]
    \begin{figure}[H]
        \centering
        \includegraphics[scale=.3]{haha.jpg}
    \end{figure}
\end{frame}


\end{document}
